如图,在平面直角坐标系中,函数y=m/x(x>0,m是常数)的图像经过点A(1,4)、点B(a,b)

题目

如图,在平面直角坐标系中,函数y=m/x(x>0,m是常数)的图像经过点A(1,4)、点B(a,b)
,其中a＞1 过点A作x轴的垂线,垂足为c,过点B作y轴的垂线,垂足为D,AC与BD相交于点M,连接AD、DC、CB与AB.
1） 求m的值
2） 求证DC平行AB
3）当 AD=BC时 求直线AB的函数解析式

答案

因为函数y=(x>0,m是常数)图象经过A(1,4),所以,m=4.
设BD,AC交于点E,根据题意,可得 B点坐标为(a,),D点坐标为(0,),E点坐标为(1,).
因为a>1,所以,DB=a,AE=4-.由△ABD的面积为4,即1/2×a(4-)=4,
得a=3.所以,点B的坐标为(3,).
(2)证明:根据题意,点C的坐标为(1,0),DE=1,所以,a>1,易得EC=,BE=a-1.
所以,BE:DE=(a-1):1.AE:CE=(4-):=a-1.
所以,BE:DE=AE:CE.
所以,DC∥AB.
因为DC∥AB,所以,当AD=BC时,有两种情况:
①当AD∥BC时,四边形ADCB是平行四边形.
由(2)得,BE:DE=AE:CE=a-1,所以,a-1=1,得a=2.
所以,点B的坐标是(2,2).
设直线AB的函数解析式为y=kx+b,把点A,B的坐标代入,得
,解得k=-2,b=6.
所以,直线AB的函数解析式为y=-2x+6.
②当AD与BC所在直线不平行时,四边形ADCB是等腰梯形.则BD=AC,所以,a=4.
点B的坐标是(4,1).
设直线AB的函数解析式为y=kx+b,比点A,B的坐标代入,得
,解得k=-1,b=5.
所以,直线AB的函数解析式为y=-x+5.
综上所述,所求直线方程为y=-2x+6或y=-x+5