已知数列an满足;a1=1,an+1-an=1,数列bn的前n项和为sn,且sn+bn=2

题目

已知数列an满足;a1=1,an+1-an=1,数列bn的前n项和为sn,且sn+bn=2
【1】求an bn的通项公式
【2】令数列cn满足cn=an乘bn,求数列cn的前n项和Tn

答案

1.
a(n+1)-an=1,为定值,又a1=1,数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列.
an=1+n-1=n
n=1时,S1+b1=2b1=2
b1=1
n≥2时,Sn=2-bn S(n-1)=2-b(n-1)
bn=Sn-S(n-1)=2-bn-2+b(n-1)
2bn=b(n-1)
bn/b(n-1)=1/2,为定值.
数列{bn}是以1为首项,1/2为公比的等比数列.
bn=1×(1/2)^(n-1)=1/2^(n-1)
数列{an}的通项公式为an=n；数列{bn}的通项公式为bn=1/2^(n-1)
2.
cn=an×bn=n×[1/2^(n-1)]=n/2^(n-1)
Tn=c1+c2+...+cn=1/1+2/2+3/2²+4/2³+...+n/2^(n-1)
Tn /2=1/2+2/2²+3/2³+...+(n-1)/2^(n-1) +n/2ⁿ
Tn -Tn /2=Tn /2=1+1/2+1/2²+...+1/2^(n-1) -n/2ⁿ
=1×(1-1/2ⁿ)/(1-1/2) -n/2ⁿ
=2-(n+2)/2ⁿ
Tn=4- (n+2)/2^(n-1)