一个数学题.如下：点A、B分别是以双曲线X方/16-Y方/20=1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆C长轴的左右端点,

题目

一个数学题.如下：点A、B分别是以双曲线X方/16-Y方/20=1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆C长轴的左右端点,
点A、B分别是以双曲线X方/16-Y方/20=1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆C长轴的左右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆C上,且位于x轴上方,向量PA * 向量PF=0
（1）求椭圆C的方程
（2）求P点的坐标
（3）设M是椭圆长轴AB上的一点,点M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点M的距离d的最小值.

答案

(1):由题意可知,椭圆C长轴等于2*6=12
焦距为2*4=8,即a=6,c=4,则b=20^.
所以椭圆C的方程为X^2/36+Y^2/20=1.
（2）：F（4,0）,A(-6,0)
设P（X,Y）,则向量PA=（-6-X,-Y） 向量PF=（4-X,-Y）
且向量PA * 向量PF=0
则-（6+X）*（4-X）+Y^2=0 （Y大于0）
又因为点P在椭圆C上,X^2/36+Y^2/20=1,
则联立方程可得X=1.5,Y=0.5*75^0.5.
即P（1.5,0.5*75^0.5）.
（3）：M有两点,一点在A,B之间,另一点在B点的右边
1）,M在A,B之间时,
设M（a,0）,则d=|MB|=6-a,
且PA的方程为3^0.5X-3Y+6*3^0.5=0
则点M到PA的距离d由公式可得
d=0.5*a+3
所以a=2,
2）,M在B的右边时,
设M（b,0）,则d=|MB|=b-6,
则点M到PA的距离d由公式可得
d=0.5*b+3,
所以b=18
因为a小于b
所以d的最小值为2