已知数列{An}的前n项和为Sn,且An=Sn*Sn_1(n≥2,Sn≠0),a1=2/9

题目

已知数列{An}的前n项和为Sn,且An=Sn*Sn_1(n≥2,Sn≠0),a1=2/9
(1)求证{1/Sn}为等差数列
(2)求满足An>An_1的自然数n的集合

答案

(1)证明：
因为an=Sn*S(n-1)(n≥2,Sn≠0）
所以Sn-S(n-1)=Sn*S(n-1)(n≥2,Sn≠0）
因为Sn≠0,所以Sn*S(n-1)≠0
方程两边同时除以Sn*S(n-1),得：
1/S(n-1)-1/Sn=1,即1/Sn=1/S(n-1)-1(n≥2)
所以数列{1/Sn}是以9/2为首项,-1为公差的等差数列.
由(1)得：1/Sn=1/S1+(n-1)d=9/2+(n-1)*(-1)=11/2-n
所以Sn=1/(11/2-n)=2/(11-2n),则S(n-1)=2/[11-2(n-1)]=2/(13-2n)
所以an=Sn-S(n-1)=2/(11-2n)-2/(13-2n)=4/[(2n-11)*(2n-13)](n≥2)
当n=1时,a1不符合an=4/[(2n-11)*(2n-13)]
当n=2时,a2=4/632时,an=4/[(2n-11)*(2n-13)]
由平方差公式：
(2n-11)*(2n-13)=[(2n-12)+1]*[(2n-12)-1]=[2(n-6)]^2-1=4*(n-6)^2-1
则an=4/[4*(n-6)^2-1].
设f(n)=4*(n-6)^2-1.
当20,f(n)依次递减
所以an=4/[4*(n-6)^2-1]依次递増,符合an>a（n-1）且a5=4/3；
当n=6时,a6=-4a6,符合题意；
当n>7时,4*(n-6)^2-1>0且f(n)依次递増,则an依次递减,不符合题意；
所以综上所述,求满足an>a（n-1）的自然数n的集合是{3,4,5,7}.
这个问题我在2010年7月20日给人解决过,应该是没有什么问题的!