过双曲线C:x平方-y平方/3=1的左焦点F做直线L与双曲线交与点P.Q,以OP,OQ为邻边做平行四边形OPMQ,求M的轨迹方程

题目

过双曲线C:x平方-y平方/3=1的左焦点F做直线L与双曲线交与点P.Q,以OP,OQ为邻边做平行四边形OPMQ,求M的轨迹方程

答案

记P(x1,y1)Q(x2,y2)则
M点坐标为(x1+x2,y1+y2)
联立y=k(x+2)
3x^2-y^2=3得
(3-k^2)x^2-4k^2x-4k^2-3=0
得M点的参数方程
x=x1+x2=4k^2/(3-k^2)
y=y1+y2=k(x1+x2+4)=12k/(3-k^2)
变形:x=12/(3-k^2)-4
3-k^2=12/(4+x)
k=√[3x/(4+x)]代人y的表达式
y=12√[3x/(4+x)]/[12/(4+x)]=√[3x(4+x)]
平方得 y^2=3x(4+x)
∴M点轨迹为(x+2)^2/4-y^2/12=1