已知函数f ( x )=−acos2x−23asinxcosx+2a+b的定义域为[0 , π2],值域为[-5,1],求常数a,b的值.
题目
已知函数
f ( x )=−acos2x−2asinxcosx+2a+b的定义域为
[0 , ],值域为[-5,1],求常数a,b的值.
答案
∵
f ( x )=-acos2x-2asinxcosx+2a+b=
-acos2x-asin2x+2a+b=-2asin(
+2x)+2a+b,
又∵0≤x≤
,∴
≤
+2x≤
,-
≤sin(
+2x)≤1,
当a>0时,∵-2a≤-2asin(
+2x)≤a,∴-2a+2a+b≤f(x)≤a+2a+b,
即 b≤f(x)≤3a+b,∴
,∴a=2,b=-5.
当a<0时,a≤-2asin(
+2x)≤-2a,∴a+2a+b≤f(x)≤-2a+2a+b,即3a+b≤f(x)≤b,
,∴a=-2,b=1.
综上,a=2,b=-5; 或 a=-2,b=1.
利用两角和的正弦公式化简f(x)解析式,由根据函数f(x)的定义域求出f(x)的范围,结合所给的值域,用待定系数法求出常数a,b的值.
正弦函数的定义域和值域.
本题考查两角和的正弦公式,正弦函数的定义域、值域,体现了分类讨论的数学思想.根据函数f(x)的定义域求出f(x)的范围,是解题的关键,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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