已知椭圆的中心在坐标原点O,一个焦点与抛物线y^2=4x的交点重合,且椭圆的离心率是√2/2,

题目

已知椭圆的中心在坐标原点O,一个焦点与抛物线y^2=4x的交点重合,且椭圆的离心率是√2/2,
求椭圆方程,2.直线l过点p(0.2)且与椭圆相交于AB两点,当△AOB的面积最大时.求直线l的方程?最好两小时之内给答案.

答案

抛物线：y^2=2*2x,焦点F（1,0）,
对椭圆,c=1,e=c/a=√2/2,a=√2,
b^2=a^2-c^2=2-1=1,
∴椭圆方程为：x^2/2+y^2=1.
2、设直线方程为：y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
O至AB距离d=2/√（1+k^2）,
x^2/2+(kx+2)^2=1,
(1+2k^2)x^2+8kx+6=0,
根据韦达定理,
x1+x2=-8k/(1+2k^2),
x1*x2=6/(1+2k^2),
根据弦长公式：
|AB|=√（1+k^2）(x1-x2)^2=√（1+k^2）[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√（1+k^2）[64k^2/(1+2k^2)^2-24/(1+2k^2)]
=√（1+k^2）[(64k^2-24-48k^2)/(1+2k^2)^2]
=[2/(1+2k^2)]√（1+k^2）(4k^2-6)
S△OAB=（1/2）[2/√（1+k^2）]* [2/(1+2k^2)]√（1+k^2）(4k^2-6)
=2[√ (4k^2-6)]/（1+2k^2）,
对k求导数,并令其为0.
8k（-2k^2+7）/(1+2k^2)^2=0,
2k^2=7,
k=±√14/2,
∴当直线方程为y=(±√14/2)x+2时,三角形OAB面积最大.