若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在区间[-1,0]上是单调递减函数,则a^2+b^2的最小值为?

题目

若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在区间[-1,0]上是单调递减函数,则a^2+b^2的最小值为?

答案

f(x)=x^3+ax^2+bx+c在区间[-1,0]上是单调递减函数,
则f′(x)=3x^2+2ax+b在区间[-1,0]上恒小于等于0,
画出二次函数3x^2+2ax+b的图像,可知：f′(-1) ≤0,f′(0) ≤0,
即3-2a+b≤0,b≤0.……（*）
以a为横轴,b为纵轴画出直角坐标系,
（*）式表示的可行域是直线3-2a+b=0右下方和b=0(即y轴)的下方的公共部分,
√(a^2+b^2)表示原点到可行域的距离,最小值是原点到直线-2a+b+3=0的距离,
为3/√5,∴a^2+b^2的最小值为9/5.