求两条渐近线为x+2y=0和x-2y=0且截直线x-y-3=0所得的弦长为833的双曲线方程．

题目

求两条渐近线为x+2y=0和x-2y=0且截直线x-y-3=0所得的弦长为

8 3

3

的双曲线方程．

答案

设所求双曲线的方程为x²-4y²=k（k≠0），
将y=x-3代入双曲线方程得3x²-24x+k+36=0，
由韦达定理得x₁+x₂=8，x₁x₂=

k

3

+12，
由弦长公式得

1+1

|x₁-x₂|=

2

•

64− 4k 3 −48

=

8 3

3

，
解得k=4，
故所求双曲线的方程为

x2

4

-y²=1．

先假设双曲线方程，再将直线代入双曲线方程，进而借助于弦长公式，即可求得双曲线方程

本题考点：双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．

考点点评：本题考查的重点是双曲线方程，解题的关键是利用双曲线的性质，待定系数法假设双曲线方程．