已知函数f(x)=1/2x∧2-alnx,求函数f(x)的单调区间,求证当x>1时,1/2x∧2+lnx

题目

已知函数f(x)=1/2x∧2-alnx,求函数f(x)的单调区间,求证当x>1时,1/2x∧2+lnx

答案

第一个问题：
∵f（x）＝（1/2）x^2－alnx,　∴f′（x）＝x－a/x＝（x^2－a）/x.
令f′（x）＝（x^2－a）/x＞0,得：x^2－a＞0、x＞0；或x^2－a＜0、x＜0.
∴x^2＞a、x＞0；或x^2＜a、x＜0.
考虑到函数的定义域,需要x＞0.　∴只有：x^2＞a、x＞0.
考查x^2＞a、x＞0,当a≦0时,x＞0.　当a＞0时,x＞√a.
∴当a≦0时,函数的增区间是（0,＋∞）、没有减区间.
　当a＞0时,函数的增区间是（√a,＋∞）、函数的减区间是（0,√a）.
第二个问题：
令F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3.
求导数,得：F′（x）＝x＋1/x－2x^2、　F″（x）＝1－1/x^2－4x.
显然,当x＞1时,F″（x）＝1－1/x^2－4x＜0,
∴当x＞1时,F′（x）＝x＋1/x－2x^2 是减函数,而F′（1）＝1＋1－2＝0,
∴当x＞1时,F′（x）＜0,　∴当x＞1时,F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3 是减函数,
又F（1）＝1/2＋0－（2/3）＝3/6－4/6＝－1/6＜0,
∴当x＞1时,F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3 ＜0,
∴（1/2）x^2＋lnx＜（2/3）x^3 .