特征方程重根问题

题目

特征方程重根问题
若n阶递推数列特征方程出现重根,其通项是怎样的?
例
An+3=4An+2 + 5An+1 + 2An
A1=A2=A3=1
求通项

答案

抄错题了吧?递推公式应该是A_{n+3}+4A_{n+2}+5A_{n+1}+2A_n=0吧?
不然原特征方程没有整数解,也没有重根.
如果是这样,那么特征方程为x^3+4x^2+5x+2=0,解方程得x1=x2=-1,x3=-2.
于是,通解为An=(an+b)(-1)^n+c(-2)^n.
将n=1、2、3代入可得：
(a+b)*(-1)+c*(-2)=1
(a*2+b)*1+c*4=1
(a*3+b)*(-1)+c*(-8)=1
解之得：
a=6
b=-3
c=-2
故An=(6n-3)(-1)^n-2(-2)^n