设函数f(x)=x3+3x+1,若0≤θ≤Л/2时,不等式f(msinθ)+f(1-m)>2恒成立,则实数m的取值范围是

题目

设函数f(x)=x3+3x+1,若0≤θ≤Л/2时,不等式f(msinθ)+f(1-m)>2恒成立,则实数m的取值范围是

答案

∵f(x)=x3+3x+1,∴f(x)-1=x3+3x.
设g(x)=f(x)-1=x3+3x.∴g’(x)=3x^2+3＞0,
则g(x)是递增的奇函数.
由f(msinθ)+f(1-m)>2,
∴f(msinθ)-1>1-f(1-m),即g(msinθ)＞g(m-1)
∴msinθ＞m-1,∴1＞m(1-sinθ).
当θ=Л/2时,不等式恒成立.
当0≤θ＜Л/2时,m＜1/（1-sinθ）,
∵1/（1-sinθ）的最小值为1,
∴m＜1.