偶函数f（x)＝ax四次方＋bx三次方＋cx²＋dx＋e的图像经过点P（0,1）,且在x＝1处的切线方程为y＝x－2

题目

偶函数f（x)＝ax四次方＋bx三次方＋cx²＋dx＋e的图像经过点P（0,1）,且在x＝1处的切线方程为y＝x－2
（1）求y＝f(x)的解析式
（2） 求y＝f(x)的极值

答案

f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e为偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立,所以b=d=0
过P,则f(0)=e=1
x=1时,利用切线求切点为(1,-1),即f(1)=a+c+e=-1,即a+c=-2
f'(1)=k=1=4a+2c
解得:a=5/2,c=-9/2
f(x)=5/2x^4-9/2x^2+1
f'(x)=10x^3-9x=10x(x-3/根10)(x+3/根10)
x=0时有极大值,x=3/根10,x=-3/根10 时有极小值
所以极大值为f(0)=1,极小值=f(3/根10)=f(-3/根10)=-1/8