已知点A(2,3)和直线l:X+2y=0.(1)求点A关于直线l的对称点B的坐标

题目

已知点A(2,3)和直线l:X+2y=0.(1)求点A关于直线l的对称点B的坐标
第二问：求经过点A和点B,且与直线X-Y+1=0的相交弦长为二倍根号二的圆的方程?

答案

（1）设过点A且与l垂直的直线为L1,
因为直线l：y=-x/2,所以：L1的斜率k=2,
由点斜式,L1：y=2(x-2)+3,即y=2x-1,
y=-x/2,y=2x-1联列方程组,得：x=2/5,y=-1/5；
即L1与l的交点为(2/5,-1/5),这个点就是A,B的中点；
设点B(x,y),由中点公式：(x+2)/2=2/5,(y+3)/2=-1/5；分别得：x=-6/5,y=-17/5；
所以,点B的坐标为(-6/5,-17/5)
（2）圆过A,B,则圆心C在AB的中垂线上,
由（1）直线l：x+2y=0就是AB的中垂线,圆心C在l上,所以,设C(-2b,b)；
则半径r²=AC²=(-2b-2)²+(b-3)²=5b²+2b+13；
C到直线x-y+1=0的距离d,则d²=(-3b+1)²/2=9b²/2-3b+1/2,
由半弦长√2,垂径d,半径r构成直角三角形；
由勾股定理：r²=d²+2；即：5b²+2b+13=9b²/2-3b+1/2+2；
整理得：b²/2+5b+21/2=0,即：b²+10b+21=0,即：(b+3)(b+7)=0；得：b=-3或b=-7
b=-3时,C(6,-3),r²=52；此时圆的方程为：(x-6)²+(y+3)²=52；
b=-7时,C(14,-7),r²=244；此时圆的方程为：(x-14)²+(y+7)²=244；
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