一题椭圆切线证明

题目

一题椭圆切线证明
椭圆方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 =1
从距离椭圆中心 根号(a^2+b^2) 的点向椭圆引二切线
试证明 二切线互相垂直

答案

证：
椭圆：x²/a²+y²/b²=1
令P(m,n)到椭圆中心的距离d=√(a²+b²),则
m²+n²=a²+b²
又∵d=√(a²+b²)＞max(a,b)
∴P必在椭圆外
∴过P必可引两条椭圆的切线
这两条切线不可能同时无斜率,令过P的椭圆切线斜率为k,则
切线：y-n=k(x-m)
y=kx-mk+n代入椭圆方程得
x²/a²+(kx-mk+n)²/b²=1
b²x²+a²(kx-mk+n)²=a²b²
b²x²+a²(k²x²+m²k²+n²-2mk²x+2nkx-2mnk)=a²b²
b²x²+a²k²x²+a²m²k²+a²n²-2a²mk²x+2a²nkx-2a²mnk-a²b²=0
(a²k²+b²)x²+(2a²nk-2a²mk²)x+a²m²k²-2a²mnk+a²n²-a²b²=0
切线条件：Δ=0,于是
Δ=(2a²nk-2a²mk²)²-4(a²k²+b²)(a²m²k²-2a²mnk+a²n²-a²b²)
=4a^4n²k²+4a^4m²k^4-8a^4mnk³-4a^4m²k^4+8a^4mnk³-4a^4n²k²+4a^4b²k²-4a²b²m²k²
+8a²b²mnk-4a²b²n²+4a²b^4
=4a^4b²k²-4a²b²m²k²+8a²b²mnk-4a²b²n²+4a²b^4=0
除以4a²b²得
a²k²-m²k²+2mnk-n²+b²=0
(a²-m²)k²+2mnk+b²-n²=0
又∵m²+n²=a²+b²
∴当a²-m²≠0时,k1·k2=(b²-n²)/(a²-m²)=-1,即此时两切线垂直.
当a²-m²=0时,m=±a,n=±b,显然切线x=±a与切线y=±b垂直.
综合上述,所引二切线垂直得证.