已知PI是超越数如何证明PI/2和PI+1是超越数

题目

已知PI是超越数如何证明PI/2和PI+1是超越数

答案

代数方程的嵌套仍然是代数方程
假设PI/2不是超越数,则存在代数方程f(x)=0
使f(PI/2)=0
令g(x)=x/2,
则f(g(x))=0仍然是代数方程
而f(g(PI))=f(PI/2)=0
即PI满足代数方程f(g(x))=0
与PI是超越数矛盾,假设不成立
PI+1证明类似