已知F1,F2分别是双曲线C：x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左右两个焦点

题目

已知F1,F2分别是双曲线C：x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左右两个焦点
过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,且∠F1MF2=90°,则双曲线的离心率是多少?

答案

双曲线C：x²/a²-y²/b²=1
过点F2与双曲线的一条
渐近线平行的直线:y=b/a（x-c）
y=b/a(x-c) 与 y=-b/ax
==>x=c/2,y=-bc/(2a)
交点M（c/2,-bc/(2a) )
∵∠F1MF2=90°
∴|OM|=c
c^2/4+b^c^2/(4a^2)=c^2
(c^2-a^2)/(4a^2)=3/4
e^2-1=3,e^2=4
∴ e=2