一道简洁的数学证明题,自己想的

题目

一道简洁的数学证明题,自己想的
求证：N^5-N=30K,(N,K∈Z）
最好不用讨论分几种情况~
下面是不用讨论的方法：
发现 Y=(N-1)N(N+1)(N+2)(N+3)能被30整除，将其变形为(N-1)N(N+1)(N²+5N+6)=(N-1)N(N+1)(N²+1+5N+5)=(N-1)N(N+1)(N²+1)+(N-1)N(N+1)(5N+5)=N^5-N+5(N-1)N(N+1)²
因为5(N-1)N(N+1)²一定能被30整除，又Y=(N-1)N(N+1)(N+2)(N+3)=N^5-N+5(N-1)N(N+1)²能被30整除，所以
N^5-N=30K,(N,K∈Z)得证。

答案

思路就是证明做边的式子可以被2,3,5整除左边=n(n+1)(n-1)(n^2+1)n(n+1)(n-1)很容易得到可以被2 3整除设n=5x+aa=0 n=5xa=1 n-1=5xa=4 n+1=5x+5这三种情况,很明显n(n+1)(n-1)可以被5整除a=2 n=5x+2 n^2+1=(5x+2)^2+1=2...