因式分解法解一元二次方程

题目

因式分解法解一元二次方程
1.解方程（x^2-x）^2-4(2x^2-2x-3)=0,可将方程变形为________,
原方程解为_______.
2.ax(a-x)-ab^2=b(b^2-x^2) (a不等于b)
3.abx^2-(a^2+b^2)x+ab=0 (ab不等于0)

答案

楼上第1题完全没有看到问题的本质：换元,故做的极为麻烦.
1.变形：将x^2-x看作整体,设为t.那么
（x^2-x）^2-4(2x^2-2x-3)=t^2-4(2t-3)=t^2-8t+12=(t-2)(t-6).
因此
（x^2-x）^2-4(2x^2-2x-3)=(x^2-x-2)(x^2-x-6)
=(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)
所以可将方程变形为(x-2)(x+1)(x-3)(x+2).
容易得知方程的解为x1=-2,x2=-1,x3=2,x4=3.
2.由于
ax(a-x)-ab^2=b(b^2-x^2),
所以
a^2x-ax^2-ab^2=b^3-bx^2.
即(a-b)x^2-a^2x+ab^2+b^3.
分解因式,得到：[(a-b)x-b^2](x-a-b)=0.
又因为a-b不等于0,
因此原方程的解为x1=b^2/(a-b),x2=a+b.
3.由于abx^2-(a^2+b^2)x+ab=0
分解因式得到：
(ax-b)(bx-a)=0.
又因为ab不等于0,
故原方程的解为x1=a/b,x2=b/a.