整数a使得关于x,y的方程组x−2y=3a−bxy=b2−2a2+3b+4对于每一个实数b总有实数解,求整数a的值.
题目
整数a使得关于x,y的方程组
对于每一个实数b总有实数解,求整数a的值.
答案
由第一个方程得:x=2y+3a-b,然后把x代入第二个方程得关于y的方程:2y2+(3a-b)y-(b2-2a2+3b+4)=0,则根据题意得△≥0,即△=(3a-b)2+4×2(b2-2a2+3b+4)≥0,∴9b2+6b(4-a)+(32-7a2)≥0,由于b取每一个实...
用代入法消去x,得y的方程:2y2+(3a-b)y-(b2-2a2+3b+4)=0,根据题意得△≥0,即△=(3a-b)2+4×2(b2-2a2+3b+4)≥0,整理为9b2+6b(4-a)+(32-7a2)≥0,把它看作为关于b的二次函数,并且函数值大于或等于0,再得△=36(4-a)2-4×9(32-7a2)≤0,整理得a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2,由此求出整数a的值.
根的判别式.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.同时考查了运用函数图象和根的判别式解决不等式问题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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