设a>0,函数f(x)=x3+ax2-9x-1,若曲线y=f(x)的切线中斜率最小的切线与直线x-12y=0垂直,则实数a的值为多少

题目

设a>0,函数f(x)=x3+ax2-9x-1,若曲线y=f(x)的切线中斜率最小的切线与直线x-12y=0垂直,则实数a的值为多少

答案

直线x-12y=0的斜率为k=1/12
与其垂直的直线的斜率为-1/k=-12
依题意,f'(x)=3x^2+2ax-9=3(x+a/3)^2-9-a^2/3的最小值为-12
即-9-a^2/3=-12
得：a=3