设函数f（x）＝ax－（a＋1）ln（x＋1）,其中a≥－1,求f（x）的单调区间

题目

设函数f（x）＝ax－（a＋1）ln（x＋1）,其中a≥－1,求f（x）的单调区间

答案

由已知得函数f（x）的定义域为（-1,+∞）,且f′(x)=(ax-1)/(x+1) (a≥-1),
（1）当-1≤a≤0时,f′（x）＜0,函数f（x）在（-1,+∞）上单调递减,
（2）当a＞0时,由f′（x）=0,解得x=1/a ．
当x∈(-1,1/a)时,f′（x）＜0,函数f（x）在(-1,1/a)上单调递减．
当x∈(1/a,+∞)时,f′（x）＞0,函数f（x）在(1/a,+∞)上单调递增．
综上所述：
当-1≤a≤0时,函数f（x）在（-1,+∞）上单调递减．
当a＞0时,函数f（x）在(-1,1/a)上单调递减,函数f（x）在(1/a,+∞)上单调递增．