设n阶矩阵A满足A的m次方等于0,m是正整数,证明E-A可逆,且E-A的逆矩阵等于E+A+A^2+A^3+.+A^m-1

题目

设n阶矩阵A满足A的m次方等于0,m是正整数,证明E-A可逆,且E-A的逆矩阵等于E+A+A^2+A^3+.+A^m-1

答案

证明:由题设,n阶矩阵A满足A^m=0(零矩阵),
因为(E-A)[E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1)]=E-A^m=E-0=E,
又因为[E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1)](E-A)=E-A^m=E-0=E,
即(E-A)[E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1)]=[E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1)](E-A)=E,
所以由矩阵可逆定义及逆矩阵定义可知：
E-A可逆,且E-A的逆矩阵等于E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1).