若函数f(x)=|x|x+2-kx3有三个不同的零点，则实数k的取值范围为 _ ．

题目

若函数f(x)=

|x|

x+2

-kx3有三个不同的零点，则实数k的取值范围为 ___ ．

答案

当k=0时，不合题意．x=0显然为函数的一个零点．
x≠0时，转化为方程

1

k

=

x3(x+2)

|x|

有个两相异的非零实根，
亦即函数f1(x)=

1

k

与f2(x)=

x3(x+2)

|x|

图象有两不同的交点．
由f2(x)=

x3(x+2)

|x|

=

x3+2x2     x＞0 -(x3+2x2)，x＜0.

，
在直角坐标系中画出其图象，结合图象不难得出结论．
故答案为：{k|k＜-

27

32

或k＞0}．

先可判断k一定不是0，进而可得到函数的一定零点；再由等x≠0时，将函数f（x）有零点转化为

1

k

=

x3(x+2)

|x|

有个两相异的非零实根的问题，即为函数f1(x)=

1

k

与f2(x)=

x3(x+2)

|x|

图象有两不同的交点，然后画出函数f₂（x）的图象求出最小值即可确定k的范围．

本题考点：函数的零点与方程根的关系．

考点点评：本题主要考查函数零点与方程的根的关系，考查以形助数的思想．要充分理解并要灵活运用函数的零点与方程的根、函数与x轴的交点的横坐标一致性．