类比推理：Rt三角形ABC,角C=90°,则AB^2=AC^2+BC^2,在空间四面体

题目

类比推理：Rt三角形ABC,角C=90°,则AB^2=AC^2+BC^2,在空间四面体
在空间四面体P-ABC,PA,PB,PC两两垂直,有着与之类似的性质,写出并证明

答案

平面上：∠C＝90º CA²+CB²＝AB² CD⊥AB D∈AB
CD×AB＝CA×CB﹙＝2S⊿ABC﹚ CD²×﹙CA²+CB²﹚＝CA²×CB² 除以CD²×CA²×CB²
得到1/CB²+1/CA²＝1/CD²
空间中：四面体P-ABC,PA,PB,PC两两垂直,PD⊥ABC D∈ABC.
以下证明：1/PD²＝1/PA²+1/PB²+1/PC²
在ABC中,AD延长交BC于E,则BC⊥平面ADP,BC⊥AE,PE⊥BC﹙三垂线﹚
1/PD²＝1/PE²+1/PA²,1/PE²＝1/PB²+1/PC²
即1/PD²＝1/PA²+1/PB²+1/PC²