过抛物线y=x2的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB，抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P，求动点P的轨迹方程．

题目

过抛物线y=x²的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB，抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P，求动点P的轨迹方程．

答案

设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
l_AB：y=kx+b，（b≠0）由

y＝kx+b y＝x2

消去y得：x²-kx-b=0，x₁x₂=-b．
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

＝0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
所以x₁x₂+（x₁x₂）²=-b+（-b）²=0，b≠0，∴b=1，∴直线AB过定点M（0，1），
又OP⊥AB，∴点P的轨迹是以OM为直径的圆（不含原点O），
∴点P的轨迹方程为x2+(y−

1

2

)2＝

1

4

(y＞0)．

设P（x，y），欲求这条曲线的方程，只须求出x，y之间的关系即可，利用OA⊥OB，结合方程根与系数的关系，将此条件用坐标代入化简即得曲线的方程．

本题考点：轨迹方程．

考点点评：本题主要考查了直接法求轨迹方程，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．