抛物线方程y=-0.5x*2+m,点A和B及P（2,4）均在抛物线上,直线PA和PB的倾斜角互补.证：直线AB的斜率为定

题目

抛物线方程y=-0.5x*2+m,点A和B及P（2,4）均在抛物线上,直线PA和PB的倾斜角互补.证：直线AB的斜率为定

答案

P（2,4）在抛物线上,带入y=-0.5x^2+m中,m=6,
抛物线方程y=-0.5x^2+6.
假设直线PA的倾斜角a1,斜率k1=tga1;
直线PA的倾斜角a2,斜率k2=tga2=tg(180-a1)==-tga1=-k1
假设A(x1,-0.5x1^2+6),B(x2,-0.5x2^2+6);P(2,4)
又k2=-k1,可得:
(-0.5x1^2+6-4)/(x1-2)=-(-0.5x2^2+6-4)/(x2-2)
化简后得,x1+x2=-4
直线AB的斜率:
k=〔(-0.5x2^2+6)-(-0.5x1^2+6)〕/(x2-x1)
=-0.5(x1+x2)
=-0.5×(-4)
=2
得证