已知α，β是关于x的一元二次方程（m-1）x2-x+1=0的两个实数根，且满足（α+1）（β+1）=m+1，求实数m的值．

题目

已知α，β是关于x的一元二次方程（m-1）x²-x+1=0的两个实数根，且满足（α+1）（β+1）=m+1，求实数m的值．

答案

∵一元二次方程（m-1）x²-x+1=0有两个实数根α，β．
∴

m−1≠0 △＝(−1)2−4(m−1)≥0

，
解之得m≤

5

4

且m≠1，
而α+β=

1

m−1

，αβ=

1

m−1

，
又（α+1）（β+1）=（α+β）+αβ+1=m+1，
∴

1

m−1

+

1

m−1

=m，
解之得m₁=-1，m₂=2，经检验m₁=-1，m₂=2都是原方程的根．
∵m≤

5

4

，
∴m₂=2不合题意，舍去，
∴m的值为-1．
注：如果没有求出m的取值范围，但在求出m值后代入原方程检验，舍去m=2也正确．

α，β是关于x的一元二次方程（m-1）x²-x+1=0的两个实数根，有α+β=

1

m−1

，αβ=

1

m−1

，
且（α+1）（β+1）=（α+β）+αβ+1代入可得（α+1）（β+1）=m+1．即可得到关于m的方程，从而求解．

本题考点：根与系数的关系；一元二次方程的定义；解分式方程．

考点点评：本题考查一元二次方程ax²+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是−

b

a

，两根之积是

c

a

．利用根与系数的关系把求m的问题转化为方程的问题，是解决本题的关键．