ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,PA=AD=a,AB=根号2a,E、F分别是PD、AB上的点

题目

ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,PA=AD=a,AB=根号2a,E、F分别是PD、AB上的点
且PE比ED=BF比FA=2分之1,求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值

答案

在AD上取点M,使AM:MD=1:2,在AB上取点N,使BN：NA=1：2,连接MN,
在△PAD中,因为PE：ED=AM：MD=1：2
所以 EM||PA,且EM=（2/3）PA=2a/3 ,AM=(1/3)AD=a/3
又因为PA⊥平面ABCD ,所以EM⊥平面ABCD,所以EM⊥MN,
∠ENM为直线EF与平面ABCD所成的角
因为ABCD是矩形,A为直角,AN=（2/3）AB=√2a/3 AM=a/3
所以MN=√(AM^2+AN^2)= √3a/3
所以tan∠ENM=EM/MN=(2a/3)/ (√3a/3)= 2√3/3
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