如图,已知二次函数y=x2-(m-3)x-m的图象是抛物线. (1)试求m为何值时,抛物线与x轴的两个交点间的距离是3? (2)当m为何值时,方程x2-(m-3)x-m=0的两个根均为负数? (3)设
题目
如图,已知二次函数y=x
2-(m-3)x-m的图象是抛物线.
(1)试求m为何值时,抛物线与x轴的两个交点间的距离是3?
(2)当m为何值时,方程x
2-(m-3)x-m=0的两个根均为负数?
(3)设抛物线的顶点为M,与x轴的交点P、Q,求当PQ最短时△MPQ的面积.
答案
(1)根据题意得
=3,
解得m
1=0,m
2=2,
即m为0或2时,抛物线与x轴的两个交点间的距离是3;
(2)∵△=(m-3)
2-4•(-m)=m
2-2m+9=(m-1)
2+8>0,
∴方程x
2-(m-3)x-m=0有两个实数根,
设方程x
2-(m-3)x-m=0的两个根为x
1,x
2,
则x
1+x
2=m-3<0,x
1•x
2=-m>0,
∴m<0;
(3)∵PQ=
=
,
∴m=1时,PQ最短,最短值为
=2
,此时抛物线解析式为y=x
2+2x-1=(x+1)
2-2,
∴M点的坐标为(-1,-2),
∴△MPQ的面积=
×2×2
=2
.
(1)根据抛物线与x轴的两个交点间的距离得到
=3,然后解方程即可;
(2)由于△=(m-1)
2+8>0,根据判别式的意义得到方程x
2-(m-3)x-m=0有两个实数根,设方程x
2-(m-3)x-m=0的两个根为x
1,x
2,
根据根与系数的关系得x
1+x
2=m-3<0,x
1•x
2=-m>0,然后求出两不等式的公共部分即可;
(3)据抛物线与x轴的两个交点间的距离得到PQ=
,变形得到PQ=
,根据非负数的性质得m=1时,PQ的最短值为2
,此时抛物线解析式为y=x
2+2x-1=(x+1)
2-2,得到M点的坐标为(-1,-2),然后根据三角形面积公式求解.
抛物线与x轴的交点.
本题考查了抛物线与x轴的交点:求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标,令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数:△=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.抛物线与x轴的两个交点间的距离为.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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