设总体X〜u(Ө,2Ө),其中Ө>0是未知参数,又x1,x2,...,xn为取自该总体的样本,(1)证明Ө=(2/3)x的均值是参数

题目

设总体X〜u(Ө,2Ө),其中Ө>0是未知参数,又x1,x2,...,xn为取自该总体的样本,(1)证明Ө=(2/3)x的均值是参数Ө的无偏估计和相合估计
(2)求Ө的极大似然估计

答案

(1).X的密度函数f(x)=1/(2Ө-Ө)=1/Ө,(Ө≤x≤2Ө);f(x)=0,其他.
EX=∫[Ө,2Ө]x/Өdx=3Ө/2.
E(Өˇ)=E(Xˉ)=(2/3)E(X)=Ө.
Өˇ=(2/3)xˉ是Ө的无偏估计.
由EX=3Ө/2,即知Өˇ=(2/3)xˉ是Ө的矩估计量,因此是Ө的相合估计量.
(2).L(Ө)=(1/Ө)^n,
Ө越小,L(Ө)越大,但Ө≤x1,x2,...,xn≤2Ө,
max{x1,x2,...,xn}/2≤Ө,
所以Ө的极大似然估计量Өˇ=max{X1,X2,...,Xn}/2.