已知不等式kx2+kx+6x2+x+2＞2对任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

题目

已知不等式

kx2+kx+6

x2+x+2

＞2对任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

答案

∵x²+x+2＞0，
∴不等式

kx2+kx+6

x2+x+2

＞2可转化为
kx²+kx+6＞2（x²+x+2）．
即（k-2）x²+（k-2）x+2＞0．
当k=2时，不等式恒成立．
当k≠2时，不等式（k-2）x²+（k-2）x+2＞0恒成立等价于

k−2＞0 △＝(k−2)2−8(k−2)＜0

．
解得2＜k＜10．
∴实数k的取值范围是（2，10）．

将不等式

kx2+kx+6

x2+x+2

＞2转化为（k-2）x²+（k-2）x+2＞0．分k=2和k≠2两种情况讨论，对于后者利用一元二次不等式的性质可知

k−2＞0 △＝(k−2)2−8(k−2)＜0

．解不等式组即可确定k的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查分情况讨论的数学思想以及一元二次不等式性质的应用，属于中档题．