已知集合A={a|关于x的方程x2-ax+1=0,有实根},B={a|不等式ax2-x+1>0对一切x∈R成立},求A∩B.

已知集合A={a|关于x的方程x2-ax+1=0,有实根},B={a|不等式ax2-x+1>0对一切x∈R成立},求A∩B.

题目
已知集合A={a|关于x的方程x2-ax+1=0,有实根},B={a|不等式ax2-x+1>0对一切x∈R成立},求A∩B.
答案
由集合A中方程有实根得到△≥0即a2-4≥0,变形得(a+2)(a-2)≥0,
a+2≥0
a−2≥0
a+2≤0
a−2≤0
解得a≥2或a≤-2;
由集合B中的不等式ax2-x+1>0对一切x∈R成立,
根据二次函数的图象和性质得到a>0,△=1-4a<0,解得a>
1
4

所以A∩B={a|a≥2}.
由集合A中的方程有实根得到△≥0列出不等式求出a的解集;由集合B中x∈R时不等式恒成立,利用二次函数的图象与性质得到a>0且△<0,列出不等式求出a的范围,求出A与B的交集即可.

交集及其运算.

本题以函数与方程为平台考查交集的基础题,也是高考常考的题型.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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