已知函数f(x)=x3+x(x∈R). (1)指出f(x)的奇偶性及单调性,并说明理由; (2)若a、b、c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,试判断f(a)+f(b)+f(c)的符号.
题目
已知函数f(x)=x3+x(x∈R).
(1)指出f(x)的奇偶性及单调性,并说明理由;
(2)若a、b、c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,试判断f(a)+f(b)+f(c)的符号.
答案
(1)∵函数f(x)=x3+x的定义域为R,关于原点对称,
又∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数,
∵f′(x)=3x2+1>0,∴f(x)在R上是增函数,
(2)由(1)得,
由a+b>0得a>-b,则f(a)>f(-b)=-f(b),即f(a)+f(b)>0.
同理,f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0.
故f(a)+f(b)+f(b)+f(c)+f(c)+f(a)>0,
即有f(a)+f(b)+f(c)>0.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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