已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期为5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值-5, (
题目
已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期为5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值-5,
(1)求f(1)+f(4)的值;
(2)求y=f(x),x∈[1,4]上的解析式;
(3)求y=f(x)在[4,9]上的解析式,并求函数y=f(x)的最大值与最小值.
答案
(1)函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,T=5,所以f(4)=f(-1),…(2分)
而函数y=f(x)在区间[-1,1]上是奇函数,所以f(-1)=-f(1),…(3分)
所以f(1)+f(4)=0;…(4分
(2)当x∈[1,4]时,令f(x)=a(x-2)
2-5,…(5分)
由f(1)+f(4)=0得a=2,…(7分)
所以f(x)=2x
2-8x+3(1≤x≤4),…(8分)
(3)函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,
令y=kx,(k≠0,-1≤x≤1),…(9分)
由(2)得:f(1)=-3,可知k=-3,…(10分)
由0≤x≤1时,y=-3x,可推知y=-3x,-1≤x≤1,…(11分)
当4≤x≤6时,-1≤x-5≤1,所以f(x)=f(x-5)=-3x+15;…(13分)
当6<x≤9时,1<x-5≤4,所以f(x)=f(x-5)=2(x-7)
2-5.…(15分)
所以
f(x)= | −3x+15,x∈[4,6] | 2(x−7)2−5,x∈[6,9] |
| |
(13分)
得f(x)
max=3,f(x)
min=-5(15分)
(1)函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,T=5,所以f(4)=f(-1),而函数y=f(x)在区间[-1,1]上是奇函数,所以f(-1)=-f(1),由此能求出f(1)+f(4)的值.
(2)当x∈[1,4]时,令f(x)=a(x-2)2-5,由f(1)+f(4)=0得a=2,由此能求出f(x).
(3)函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,y=f(x)在[0,1]上是一次函数,令y=kx.由f(1)=-3,可知k=-3,由此分类讨论能够求出f(x),并求出其最值.
函数的周期性;函数的最值及其几何意义;函数奇偶性的性质.
本题考查函数值和函数解析式的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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