已知双曲线x^2/4-y^2=1,F1,F2为其左右焦点,直线l过右焦点且与双曲线右支交于A,B两点,
题目
已知双曲线x^2/4-y^2=1,F1,F2为其左右焦点,直线l过右焦点且与双曲线右支交于A,B两点,
求|F1A|*|F1B|的最小值
答案
a=2,F2(√5,0),由第一定义
设S=|F1A|*|F1B|=(|F2A|+4)*(|F1B|+4)=|F2A|*|F2B|+4(|F2A|+|F2B|)+16
设|F2A|=m,|F2B|=n,有S=mn+4(m+n)+16≤(m+n)²/4+4(m+n)+16,其中m+n=|AB|,等号当且仅当m=n即AB与x轴垂直时成立;
又AB与x轴垂直时m+n=|AB|有最小值,所以当AB与x轴垂直时A、B(√5,±1/2),m+n=1
Smin=1/4+4+16=81/4
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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