已知双曲线x^2/4-y^2=1,F1,F2为其左右焦点,直线l过右焦点且与双曲线右支交于A,B两点,

题目

已知双曲线x^2/4-y^2=1,F1,F2为其左右焦点,直线l过右焦点且与双曲线右支交于A,B两点,
求|F1A|*|F1B|的最小值

答案

a=2,F2(√5,0),由第一定义
设S=|F1A|*|F1B|=(|F2A|+4)*(|F1B|+4)=|F2A|*|F2B|+4(|F2A|+|F2B|)+16
设|F2A|=m,|F2B|=n,有S=mn+4(m+n)+16≤(m+n)²/4+4(m+n)+16,其中m+n=|AB|,等号当且仅当m=n即AB与x轴垂直时成立；
又AB与x轴垂直时m+n=|AB|有最小值,所以当AB与x轴垂直时A、B(√5,±1/2),m+n=1
Smin=1/4+4+16=81/4