三角形ABC中两条高线所在直线的方程为2X-3Y+1=0和X+Y=0,且它的一个顶点为A(1,2),求三个内角的大小.

题目

三角形ABC中两条高线所在直线的方程为2X-3Y+1=0和X+Y=0,且它的一个顶点为A(1,2),求三个内角的大小.

答案

由于 A 均不满足两条高的方程,因此两条高是 AB、AC 边上的高 ,
由 kAB= -3/2 、kAC=1 可得直线 AB、AC 的方程分别为
y-2= -3/2*(x-1) 和 y-2=x-1 ,
即 3x+2y-7=0 和 x-y+1=0 ,
联立 ｛3x+2y-7=0 ；x+y=0 解得 B（7,-7）,
联立｛x-y+1=0 ；2x-3y+1=0 解得 C（-2,-1）,
因此直线 BC 的斜率为 kBC=(-1+7)/(-2-7)= -2/3 ,
由 tanA=(kAB-kAC)/(1+kAB*kAC)=(-3/2-1)/(1-3/2)=5 得 A=arctan5 ；
由 tanB=(kBC-kAB)/(1+kBC*kAB)=(-2/3+3/2)/(1+2/3*3/2)=5/12 得 B=arctan(5/12) ；
由 tanC=(kAC-kBC)/(1+kAC*kBC)=(1+2/3)/(1-2/3)=5 得 C=arctan5 .