如何判断级数 ∑1/[n*sin(n)]的敛散性?

题目

如何判断级数 ∑1/[n*sin(n)]的敛散性?
高数书上介绍的方法貌似都行不通

答案

数学问题不易从表面判断难度,
自己想的题搞不好就和世界难题相关.
好在你这道题目本身还算简单.
由1/π是无理数,可用抽屉原理证明:存在无穷多组正整数m,n,满足|n/π-m| < 1/n.
对满足上述要求的n,可知:
|n·sin(n)| = n·|sin(n)| = n·|sin(n-mπ)| ≤ n·|n-mπ| = πn·|n/π-m| < π.
于是存在一列趋于无穷的正整数n,使1/|n·sin(n)| > 1/π.
这说明1/(n·sin(n))不收敛到0,级数发散.
如果你进一步问∑1/(n^a·sin(n))的敛散性,问题就复杂了.
从上面的证明可以理解,这与π可被有理数逼近的"程度"密切相关.
有结论说对u = 7.6063...,至多有有限组正整数m,n使|π-m/n| < 1/n^u.
由此可以说明对a > u-1,通项1/(n^a·sin(n))收敛到0,
而对a > u,可证明级数绝对收敛.
上面给出的u是目前所知的最好结果(证明于2008年),
有猜想说对任意u > 2都是对的,但这只是猜想.