设有整数x1,x2,……xn,使x1+x2+……+xn=0,x1x2……xn=n,证明：4|n

题目

设有整数x1,x2,……xn,使x1+x2+……+xn=0,x1x2……xn=n,证明：4|n

答案

首先,x1,x2,……xn不可能全不为1或-1,否则|x1x2……xn|>|x1|+|x2|+……+|xn|>n
若n为奇数,则x1,x2,……xn除了有限个绝对值不为1的数外,其余都为1和-1
而这些绝对值不为1的数必然都是奇数
若有偶数个这样的数,则无论其正负如何,其代数和只能为偶数,而n是奇数,故
1和-1总共有奇数个,它们的代数和不可能为偶数,矛盾.
若有奇数个这样的数,则无论其正负如何,其代数和只能为奇数,但有偶数个1和
-1,也矛盾.
若2|n但4不整除n,那x1,x2,……xn中除了一个数为2或-2外,其余为奇数或±1,
若有偶数个奇数,则其代数和为偶数,加上±2后仍为偶数,但只有奇数个±1,
矛盾.
若有奇数个奇数,则其代数和为奇数,加上±2后仍为奇数,但只有偶数个±1,
矛盾.
故4|n