已知a,b,c为三个正整数,且a+b+c=12,那么以a,b,c为边组成的三角形可以是钝角三角形吗?为什么?

题目

已知a,b,c为三个正整数,且a+b+c=12,那么以a,b,c为边组成的三角形可以是钝角三角形吗?为什么?

答案

不可以.
不妨设a≤b≤c,则要是钝角三角形必须有
a+b＞c …… ①
a²+b²＜c² ……②
由于 a+b+c=12 ,代入①式得
a+b ＞ 12-a-b ,推出 a+b＞6,即 a+b≥7
∴ a²+b²＜c²=(12-a-b)²≤5²=25
而 a²+b²≥(a+b)²/2≥7²/2=49/2
∴ 49/2≤ a²+b² ＜25
无整数解,所以不会构成钝角三角形.