***若一元二次方程ax²+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根,试求出所有这样的正整数a的值

题目

***若一元二次方程ax²+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根,试求出所有这样的正整数a的值
答案是1,3,6,10,请问是怎么算的

答案

△=[2(2a-1)]²-4a*4(a-3)=[2(2a-1)]²-4*4(a-3)=32a+4=4(8a+1)
x=[-2(2a-1)±2√(8a+1)]/2a=[1±√（8a+1)]/a-2
x至少有1根是整数,a为正整数
∴8a+1=b²,(b为0、1、2、……）
8a+1是奇数,所以b必为奇数,即8a+1=(2n+1)²,(n=1、2、3、……）
8a+1=4n²+4n+1
a=n(n+1)/2
a=1,3,6,10,15,21,……
x至少有1根是整数,所以至少其根的分子绝对值中较大的数必须大于等于分母,否则x的根均为分数
∴1+√（8a+1)≧a
√（8a+1)]≧a-1,两边平方得：8a+1≧a²-2a+1
a²-10a≦0
a(a-10)≦0
a＞0
∴a≦10
∴a=1,3,6,10