已知函数f(x)=3−axa−1(a≠1).若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是_.

已知函数f(x)=3−axa−1(a≠1).若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是_.

题目
已知函数f(x)=
3−ax
a−1
(a≠1).若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是______.
答案
f′(x)=
−a
2(a−1)
3−ax

若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则f′(x)<0;
−a
a−1
<0
,解得a<0,或a>1;
又3-ax≥0,即a≤
3
x
,在(0,1]上恒成立,
3
x
在(0,1]上的最小值是3,∴a≤3;
∴实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].
故答案为:(-∞,0)∪(1,3].
求f′(x)=
−a
2(a−1)
3−ax
,根据f(x)在区间(0,1]上是减函数便得到f′(x)<0,这样可求得a的一个范围,再根据3-ax≥0在(0,1]上恒成立可得到a≤3,所以和前一个a的范围求交集即可得到a的取值范围.

函数单调性的性质.

考查函数单调性和函数导数符号的关系,解分式不等式,不要漏了a还需满足3-ax≥0在(0,1]上恒成立.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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