,已知F1,F2分别是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的左,右焦点,点P在椭圆上,线段PF2与圆x²+y²=b²相切于

题目

,已知F1,F2分别是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的左,右焦点,点P在椭圆上,线段PF2与圆x²+y²=b²相切于Q点,且点Q是线段PF2的重点,则椭圆的离心率为—,

答案

连接坐标原点 O 与切点 Q,则 OQ 垂直平分 PF2,PF2=2√(c²-b²)；
同时 OP=OF2=c=OF1,故 P 是 Rt△PF1F2 的直角顶点,因而 (F1F2)²=(PF1)²+(PF2)²；
由 PF1+PF2=2a,代入上式 (2c)²=[2a-2√(c²-b²)]²+4(c²-b²),化简得：a-b=√(c²-b²)；
再将 c²=a²-b² 代入后解得 b/a=2/3；
∴ e=c/a=√[1-(b/a)²]=√[1-(2/3)²]=√5/3；