若点(√2,2)在幂函数f(x)的图像上,点(-2,1/4)在幂函数g(x)的图像上,定义h(x)=

题目

若点(√2,2)在幂函数f(x)的图像上,点(-2,1/4)在幂函数g(x)的图像上,定义h(x)=
f(x),f(x)≤g(x)
g(x),f(x)>g(x)
试求函数h(x)的最大值及单调区间.

答案

由题知y=a^x,a=y^(1/x)
f(x)=2^(x/√2),g(x)=2^(-x)
f(x)为增函数,g(x)为减函数；
f(x)=g(x)时,x=0
h(x)=2^(x/√2),x≤0
2^(-x),x>0
可知x≤0,h(x)增函数;x>0h(x)减函数
最大值h(0)=1