若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A(1,-3),顶点为M,且方程ax²+bx+c=12的两个根为6,-2

题目

若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A(1,-3),顶点为M,且方程ax²+bx+c=12的两个根为6,-2
（1）求该抛物线的解析式
（2）试判断抛物线上是否存在一点P,使∠POM=90°.若不存在,说明理由；若存在,求出P点坐标
（3）试判断抛物线上是否存在一点K,使∠OMK=90°,说明理由.（点O为坐标原点）
原题就没有图

答案

(1)把(1,-3)代入函数解析式：-3=a+b+c
ax²+bx+c-12=0
-b/a=-2+6
(c-12)/a=-2*6
整理得：
{a+b+c=-3
{b=-4a
{c=12-12a
解得：a=1,b=-4,c=0
y=x²-4x=(x-2)²-4
(2)存在.
M（2,-4）
OM的直线方程为：y=-4/2x=-2x
OP的直线方程为：y=1/2x
联立y=x²-4x得：
x=0,y=0(舍去);x=9/2,y=9/4
因此,P(9/2,9/4)
(3)存在.
令K(a,a²-4a)
(a²-4a+4)/(a-2)=1/2
a=5/2
a²-4a=-15/4
因此,K(5/2,-15/4)