已知方程x2-kx-7=0与x2-6x-（k+1）=0有公共根．求k的值及两方程的所有公共根和所有相异根．

题目

已知方程x²-kx-7=0与x²-6x-（k+1）=0有公共根．求k的值及两方程的所有公共根和所有相异根．

答案

x2−kx−7＝0① x2−6x−(k+1)＝0②

，
②-①得，（-6+k）x+（6-k）=0，
当-6+k=0，即k=6时，x取任意值，两个方程得解都相同．两个方程是同一个式子．方程得解是x₁=7，x₂=-1；
当k≠6时，解得x=1．
把x=1代入x²-kx-7=0得，1-k-7=0，k=-6．
于是两方程为：x²+6x-7=0③，x₁=1，x₂=-7．
x²-6x+5=0④，x₁=1，x₂=5．
故答案为：k=-6；其公共根为1，相异根为：-7和5．

由于两方程有公共解，所以将二者组成方程组，求出x及k的值，再解方程即可．

本题考点：一元二次方程的解．

考点点评：本题考查了一元二次方程的公共解即为二者组成的方程组的解，求出系数k是解题的关键．