求证：数列lg100,lg（100sinπ/4）,lg（100sin^2 π/4）,…,lg（100sin^n-1 π/4）,…是等差数列（←要证明哦!不是已知条件）,并求从第几项起,该项及其后每一项

题目

求证：数列lg100,lg（100sinπ/4）,lg（100sin^2 π/4）,…,lg（100sin^n-1 π/4）,…是等差数列（←要证明哦!不是已知条件）,并求从第几项起,该项及其后每一项都是负数
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答案

an=lg(100sin^n-1 π/4)
an-1=lg(100sin^n-2 π/4)
有
an-an-1
=lg(100sin^n-1 π/4)-lg(100sin^n-2 π/4)
=lg[(100sin^n-1 π/4)/(100sin^n-2 π/4)]
=lg(sinπ/4)
=lg(√2/2）
所以数列是以lg100既以2为首项,公差为lg(√2/2）的等差数列.
an=2+（n-1）lg(√2/2）
设第n项小于0则有：
an=an=2+（n-1）lg(√2/2）0
得：
（4/lg2）+2>n >（4/lg2）+1
4/lg2≈13.3
所以
15.3>n>14.3
取整得 n=15
从第15项起其后每一项都是负数.