设A,B分别为m*n,n*t矩阵,求证：若r(A)=n.则r(AB)=r(B) 若r(B)=n,则r(AB)=r(A)

题目

设A,B分别为m*n,n*t矩阵,求证：若r(A)=n.则r(AB)=r(B) 若r(B)=n,则r(AB)=r(A)

答案

若R(B)=n,则显然有t>=n说明B的行秩为nB能通过初等列变换,变为 [E,0]形式其中E是n阶单位方阵就是说存在可逆的Q,合B=[E,O]QAB=A[E,O]Q = [A,0]Q即R(AB)=R([A,O]Q)=R([A,O])=R(A)若R(A)=n,则R(AB)=R((AB)')=R(B'A')只需...