已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x． ①讨论f（x）的单调性： ②设a＞0，证明：当0＜x＜1/a时，f（1/a+x）＞f（1/a-x）．

题目

已知函数f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
①讨论f（x）的单调性：
②设a＞0，证明：当0＜x＜

1

a

时，f（

1

a

+x）＞f（

1

a

-x）．

答案

①函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=lnx-ax2+（2-a）x，∴f'（x）=1x−2ax+2−a=−2ax2+(2−a)x+1x=−(2x+1)(ax−1)x．（1）若a＞0，则由f′（x）=0，得x=1a，当x∈（0，1a）时，f′（x）＞0，此时函数单调...

①求导，并判断导数的符号，分别讨论a的取值，确定函数的单调区间．
②构造函数g（x）=f（

1

a

+x）-f（

1

a

-x），利用导数求函数g（x）当0＜x＜

1

a

时的最小值大于零即可．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．