以三角形ABC的外心O为复平面原点,表示三角形的重心和垂心及证明.

题目

以三角形ABC的外心O为复平面原点,表示三角形的重心和垂心及证明.
例：重心 (A+B+C)/3
证明：.

答案

还是区分一下点和复数,设A,B,C分别对应复数a,b,c,它们的共轭分别为a',b',c'.
记(a+b+c)/3对应的点为G.
由复数加法的平行四边形法则,易知BC中点D对应复数(b+c)/2.
由a-(a+b+c)/3 = (2a-b-c)/3 = 2((a+b+c)/3-(b+c)/2),可知A,G,D共线,即G在中线AD上.
同理,G也在另外两边的中线上,因此G为△ABC的重心.
注:此结论可以不要求O是△ABC的外心.
垂心对应的复数为a+b+c.
记a+b+c对应的点为H.
AH对应复数b+c,BC对应复数c-b.
∵O是△ABC的外心,∴|b| = |c|,
∴(b'+c')(c-b) = b'c-bc'+|c|²-|b|² = b'c-bc'+|b|²-|c|² = -(b+c)(c'-b').
由c-b ≠ 0,上式表明(b+c)/(c-b)的共轭等于-(b+c)/(c-b),即(b+c)/(c-b)是纯虚数或0.
因此AH与BC垂直,H在BC边的高线上.
同理H也在另外两边的高线上,即H为△ABC的垂心.
注:其实用向量点乘证明更方便.